(17)2025年高考重庆市(二诊)数学第17题
已知椭圆C:
x²/a²+y²/b²= l ( a > b >0）
的左, 右焦点分别为F₁, F₂, 上顶点为
A, 直线AF₁的斜率为1, 且与C的另一
个交点为B ,△ABF₂的周长为8.
(1）求C的方程及|AB|的值；
(2）如图，将C沿x轴折起，使得折
叠后平面AF₁F₂⊥平面 BF₁F₂, 求F₂到
平面ABF₁的距离。
解析：(1)设 F₁(-c ,0),F₂(c ,0),
A(0, b)，其中c²=a²-b²,
∵△ABF₂的周长为4a，
∴4a=8，得 a =2,
又∵a/c＝1，
∴ b=c=√2，
∴椭圆方程 C: x²/4+y²/2=1，
∴直线AF : y = x +√2，
联立 y = x +√2，
x²/4+y²/2=1，
得 3x²+4√2x=0,
解得 x₁=-4√2/3，x₂=0(舍去)，
∴xB=-4√2/3，
代入 y = x +√2，
得 yB=-√2/3，
∴lABl=√2·l0-4√2/3l=8/3.
(2）如图，建立直角坐标系，
图片
则 A (0, 0, √2),
B (-4√2/3,-√2/3, 0),
F₁(-√2, 0, 0), F₂(√2, 0, 0),
向量F₁A =(√2, 0, √2),
向量F₁B =(-√2/3, √2/3, 0),
向量F₁F₂＝(2√2, 0. 0)，
设平面 ABF₁的法向量为
n =( x , y , z )，
则有 向量F₁A·n=0，
向量F₁B·n =0，
∴ x+z=0, x + y =0，
取 n=(-1,1,1),
∴F₂到平面ABF₁的距离
d =lF₁F₂·nl/lnl
=2√2/√3=2√6/3.
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